二次函数的图像与系数关系，是初三数学里最“套路化”的一块。题目通常给一个抛物线的草图，问 a、b、c 的符号，或者问某些代数式的值。看起来花样很多，其实判断路径是固定的。

固定的路径分三步：看开口定 a，看对称轴定 b，看与 y 轴交点定 c。三步之外再多加一步，看与 x 轴交点个数定判别式。掌握这四步，这类题基本不会失分。

第一步：开口方向定 a

开口向上，a 大于零；开口向下，a 小于零。这是最简单的判断，但也最容易在复合题里被跳过。

有一种常见变形：题目不给图像，只给几个点，让判断 a 的符号。这时可以用纵坐标的变化趋势：如果在对称轴两侧，函数值先减后增，开口向上；先增后减，开口向下。

第二步：对称轴定 b

对称轴是 x 等于负二分之 b。判断 b 的符号要用“同左异右”这个口诀：对称轴在 y 轴左侧，a 与 b 同号；在 y 轴右侧，a 与 b 异号。

要注意的是，这个口诀是在 a 已经确定的前提下用的，判断顺序不能反。如果先判 b 再判 a，很容易出错。

还有一类题会问 a+b+c 的符号，这个看的是 x 等于 1 时的函数值；a-b+c 看的是 x 等于负 1 时的函数值；4a+2b+c 看的是 x 等于 2 时的函数值。把代数式翻译成函数值，是这类题的通用解法。

第三步：与 y 轴交点定 c

抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，c），所以交点在正半轴，c 大于零；在负半轴，c 小于零；过原点，c 等于零。

这一条在有图像的题里最直接，但在纯代数题里容易被忽略。如果题目给了图像与 y 轴的交点位置，先用它把 c 定下来，能省掉后面的很多推理。

第四步：交点个数定判别式

抛物线与 x 轴有两个交点，判别式大于零；一个交点，等于零；没有交点，小于零。

这一步常和“根的分布”结合考。比如问“方程有两个不相等的正根”，除了判别式，还要加两个条件：两根之和大于零、两根之积大于零。三个条件同时满足才行，只写判别式是常见失分。

开口大小看的是 a 的绝对值

很多学生只知道 a 大于零开口向上，不知道开口的宽窄由 a 的绝对值决定。绝对值越大，开口越窄；绝对值越小，开口越宽。

这个知识点在比较两个抛物线时经常考。题目给两条抛物线，问哪个开口更窄，看的就是 a 的绝对值谁大。a 是负的时候容易判错，因为负数的绝对值要取相反数。

四步判断的顺序不能颠倒：a 没定下来，b 的符号就无从判断。

三个高频陷阱

第一个是忽略 a 不等于零这个前提。题目说“函数是二次函数”，就意味着 a 不能为零；如果题目只说“函数”，那 a 可以为零，要分情况讨论。

第二个是把对称轴的位置和增减性搞混。对称轴左侧的增减性取决于开口方向，不是固定不变的。

第三个是平移。图像平移的规律是“左加右减、上加下减”，但这个规律作用于 x 本身，不是作用于整个括号。y 等于 a(x-1)² 是向右平移一个单位，不是向左。

三天怎么练

不建议一上来就刷综合题。先用一天把四步判断练熟，找二十道只问符号的题，每道题都按四步顺序写一遍推理过程。

第二天练代数式与函数值的转换，把 a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c 这几个常见式子各练五遍。

第三天再上综合题，做五道带图像的压轴小题。这时候会发现，前面两步做熟了，综合题的门槛一下就低了。